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云之南

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专业背景:计算机科学 研究方向与兴趣: JavaEE-Web软件开发, 生物信息学, 数据挖掘与机器学习, 智能信息系统 目前工作: 基因组, 转录组, NGS高通量数据分析, 生物数据挖掘, 植物系统发育和比较进化基因组学

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K-L变换  

2010-03-01 21:18:33|  分类: 数理统计 |  标签: |举报 |字号 订阅

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K-L变换

  K-L变换( Karhunen-Loeve Transform)是建立在统计特性基础上的一种变换,有的文献也称为霍特林(Hotelling)变换,因他在1933年最先给出将离散信号变换成一串不相关系数的方法。K-L变换的突出优点是相关性好,是均方误差(MSE,Mean Square Error)意义下的最佳变换,它在数据压缩技术中占有重要地位。

  假定一幅N x N的数字图像通过某一信号通道传输M次,由于受随机噪音干扰和环境条件影响,接收到的图像实际上是一个受干扰的数字图像集合

  对第i次获得的图像 fi(x,y) ,可用一个含 N2 个元素的向量 Xi 表示,即

  该向量的第一组分量(N个元素)由图像fi(x,y) 的第一行像素组成,向量的第二组分量由图像 f i(x,y) 的第二行像素组成,依此类推。也可以按列的方式形成这种向量,方法类似。

  X向量的协方差矩阵定义为:

  m f定义为:

  C f 和 m f 的表达式中,“ E ”是求期望。

  对于M幅数字图像,平均值向量 m f 和协方差矩阵 C f可由下述方法近似求得:

  可以看出, m f 是 N2 个元素的向量, C f 是 N2 x N2 的方阵。

  根据线性代数理论,可以求出协方差矩阵的 N2 个特征向量和对应的特征值。假定 是按递减顺序排列的特征值,对应的特征向量

  ei = 。

  则K-L变换矩阵A定义为:

  从而可得K-L变换的变换表达式为:

  该变换式可理解为,由中心化图像向量 X - mx 与变换矩阵A相乘即得到变换后的图像向量Y。Y的组成方式与向量X相同。

  K-L变换虽然具有MSE意义下的最佳性能,但需要先知道信源的协方差矩阵并求出特征值。求特征值与特征向量并不是一件容易的事,维数较高时甚至求不出来。即使能借助计算机求解,也很难满足实时处理的要求,而且从编码应用看还需要将这些信息传输给接收端。这些因素造成了K-L变换在工程实践中不能广泛使用。人们一方面继续寻求解特征值与特征向量的快速算法,另一方面则寻找一些虽不是“最佳”、但也有较好的去相关与能量集中的性能且容易实现的一些变换方法。而K-L变换就常常作为对这些变换性能的评价标准。

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