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云之南

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专业背景:计算机科学 研究方向与兴趣: JavaEE-Web软件开发, 生物信息学, 数据挖掘与机器学习, 智能信息系统 目前工作: 基因组, 转录组, NGS高通量数据分析, 生物数据挖掘, 植物系统发育和比较进化基因组学

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常用统计分布  

2010-01-12 14:32:45|  分类: 数理统计 |  标签: |举报 |字号 订阅

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 常用统计分布

 

本章将再介绍四种概率分布,它们分别是超几何分布、泊松分布、卡方分布和F分布。

 

第一节 超几何分布

 

超几何分布是一种离散型随机变量的概率分布。前面已经谈到,对于抽样调查,只有在大群体(即总体比样本相对大很多)的情况下,二项分布的独立试验的要求才能够近似得到满足。但如果研究对象是小群体,这时总体单位不多,一般只有几十个。假定总体只有两类,其中K个为成功类,(NK)个为失败类。这时如果从总体中抽取一容量为n的样本.那么成功的概率将不再恒定,也就是二项分布所要求的独立试验的条件不再被满足,而超几何分布将适合于这种小群体的研究。

    

    1.超几何分布的数学形式   

超几何分布以样本内的成功事件的个数x为随机变量。若总体单位数为N,其中成功类共有K个,设从中抽取n个为一样本,则样本中成功类个数x 的概率分布为

                   Px)=HxNnK)=          

2.超几何分布的数学期望与方差

(1)       μE(x)=                                           

σ2=D (x)=                        

3.关于超几何分布的近似  

一般当 ≤0.1时,近似公式为  

 Px)= ≈                    

 

第二节 泊松分布

 

泊松分布适合于稀有事件的研究,它是由法国数学家泊松(Poisson,1761—1840年)所提出。它产生于一个事件的平均发生次数是大量试验的结果,在这些试验中,此事件可能发生.但发生的概率非常小。   

1. 泊松分布的数学形式   

泊松分布亦为离散型随机变量的概率分布,随机变量为样本内成功事件的次数。若μ为成功

次数的期望值,假定它为已知。而且在某一时空中成功的次数很少,超过5次的成功概率可忽不计,那么稀有事件出现的次数x的概率分布为   

 Px)=Px;λ)=                           

    泊松分布只有一个参数λ,只要知道了λ值,泊松分布就确定了。泊松分布有计算好的泊松分布表(附表6),概率值需要时可直接查找。

2. 泊松分布的性质 

(1)泊松分布随机变量x的取值为零和一切正整数。 

(2)泊松分布图形是非对称的,但随着λ的增加,图形将变得接近对称。

(3 )泊松分布的数学期望E(x)=λ和方差D(x) =λ。

 

3. 关于泊松分布的近似 

(1)用泊松分布近似二项分布     pxqn-x ≈  。    

(2)用正态分布近似泊松分布  Z = ,或者  Z=  。     

 

第三节 卡方分布( 分布)

 

    卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅(Benayme)、赫尔默特(Helmert)、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发现,它是由正态分布派生出来的,主要用于列联表检验。

1.卡方分布的数学形式

设随机变量X1,X2,…Xk,相互独立,且都服从同一的正态分布N (μσ2)。那么,我们可以先把它们变为标准正态变量Z1,Z2,…Zkk个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布( 分布)的随机变量 ( 读作卡方)

( )=( )2 ( )2… ( )2

= =                   

 2.卡方分布的性质

(1)  因为 ( )是k个服从N (0,1)的随机变量Zi2的平方和,而不是Zi之和,所以以

为随机变量的卡方分布不是正态分布, 恒为正值,且   

                 =1                             

    (2) 分布的期望值是自由度k,方差值为自由度的2倍,即2 k

(3) 分布具有可加性。 

(4)利用 分布可以推出样本方差S2的分布,因为 ∽ ( ―1)。

 

3. 样本方差的抽样分布   

    在一般情况下,S 2的抽样分布很复杂,它的精确分布不一定能求出来。但如果总体为正态,由上可知,样本方差S 2服从于自由度 =n―l的 分布。该式中包含了与总体有关的参数σ2,从而有关S 2的分布和σ2的推论可借助于 分布来讨论。

 

第四节   F分布

 

F分布是连续型随机变量的另一种重要的小样本分布,应用也相当广泛。它可用来检验两个总体的方差是否相等,多个总体的均值是否相等。F分布还是方差分析和正交设计的理论基础。

1. F分布数学形式

设 ( )和 ( )相互独立,那么随机变量   

F( , )=                         

服从自由度为( , )的F分布。其中,分子上的自由度 叫做第一自由度,分母上的自由度 叫做第二自由度。     

   

2.F分布的性质

(1)  随机变量F和随机变量 一样,恒取正值,F分布密度曲线下总面积亦为1。  

(2)F分布也是一个连续的非对称分布。

(3)分布具有一定程度的反对称性。

 

3. 关于F分布的近似

(1)当自由度较大时,F分布可以用正态分布作近似,即用下式由正态分布表可求得它所对应的Fα( , )之值

lg Fα( , )=0.4343Zα              

(2)  如果第一自由度 或第二自由度 的F分布没有列在表中.但邻近的第一自由度或第

二自由度的F分布已列在表中,对于Fα( , )的值可以用调和插值法得到。   

(3)F分布与其他分布及标准正态分布的关系是简单而明了的:①对 =1及 = ,F分布成为t 2分布(查未预测方向的t值);②对 =1及 =∞,F分布成为Z 2分布(查未预测方向的Z值);③对 = 及 =∞,F分布成为 / 分布。   

 

概率分布表

分布名称

概率与密度函数 常用统计分布 - fhqdddddd - 流浪云南

数学期望

方差

图形

贝努里分布

两点分布

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二项分布

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泊松分布

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几何分布

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正态分布

高斯分布

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均匀分布

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指数分布

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