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专业背景：计算机科学研究方向与兴趣: JavaEE-Web软件开发, 生物信息学, 数据挖掘与机器学习, 智能信息系统目前工作: 基因组, 转录组, NGS高通量数据分析, 生物数据挖掘, 植物系统发育和比较进化基因组学

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常用统计分布

2010-01-12 14:32:45| 分类：数理统计 | 标签： |举报 |字号大中小订阅

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常用统计分布

本章将再介绍四种概率分布，它们分别是超几何分布、泊松分布、卡方分布和F分布。

第一节超几何分布

超几何分布是一种离散型随机变量的概率分布。前面已经谈到，对于抽样调查，只有在大群体(即总体比样本相对大很多)的情况下，二项分布的独立试验的要求才能够近似得到满足。但如果研究对象是小群体，这时总体单位不多，一般只有几十个。假定总体只有两类，其中K个为成功类，(N―K)个为失败类。这时如果从总体中抽取一容量为n的样本．那么成功的概率将不再恒定，也就是二项分布所要求的独立试验的条件不再被满足，而超几何分布将适合于这种小群体的研究。

1．超几何分布的数学形式

超几何分布以样本内的成功事件的个数x为随机变量。若总体单位数为N，其中成功类共有K个，设从中抽取n个为一样本，则样本中成功类个数x 的概率分布为

P（x）＝H（x：N，n，K）＝

2．超几何分布的数学期望与方差

（1） μ＝E(x)＝

σ2＝D (x)＝

3．关于超几何分布的近似

一般当 ≤0．1时，近似公式为

P（x）＝ ≈

第二节泊松分布

泊松分布适合于稀有事件的研究，它是由法国数学家泊松(Poisson，1761—1840年)所提出。它产生于一个事件的平均发生次数是大量试验的结果，在这些试验中，此事件可能发生．但发生的概率非常小。

1．泊松分布的数学形式

泊松分布亦为离散型随机变量的概率分布，随机变量为样本内成功事件的次数。若μ为成功

次数的期望值，假定它为已知。而且在某一时空中成功的次数很少，超过5次的成功概率可忽不计，那么稀有事件出现的次数x的概率分布为

P（x）＝P（x；λ）＝

泊松分布只有一个参数λ，只要知道了λ值，泊松分布就确定了。泊松分布有计算好的泊松分布表(附表6)，概率值需要时可直接查找。

2．泊松分布的性质

(1)泊松分布随机变量x的取值为零和一切正整数。

(2)泊松分布图形是非对称的，但随着λ的增加，图形将变得接近对称。

(3 )泊松分布的数学期望E(x)＝λ和方差D(x) ＝λ。

3．关于泊松分布的近似

(1)用泊松分布近似二项分布 pxqn-x ≈ 。

(2)用正态分布近似泊松分布 Z ＝，或者 Z＝。

第三节卡方分布( 分布)

卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅(Benayme)、赫尔默特(Helmert)、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。

1.卡方分布的数学形式

设随机变量X1，X2，…Xk，相互独立，且都服从同一的正态分布N (μ，σ2)。那么，我们可以先把它们变为标准正态变量Z1，Z2，…Zk，k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布（分布）的随机变量（读作卡方）

（）＝（）2 （）2… （）2

＝＝

2．卡方分布的性质

(1) 因为（）是k个服从N (0，1)的随机变量Zi2的平方和，而不是Zi之和，所以以

为随机变量的卡方分布不是正态分布，恒为正值，且

＝1

(2) 分布的期望值是自由度k，方差值为自由度的2倍，即2 k。

(3) 分布具有可加性。

(4)利用分布可以推出样本方差S2的分布，因为 ∽ （ ―1）。

3．样本方差的抽样分布

在一般情况下，S 2的抽样分布很复杂，它的精确分布不一定能求出来。但如果总体为正态，由上可知，样本方差S 2服从于自由度＝n―l的分布。该式中包含了与总体有关的参数σ2，从而有关S 2的分布和σ2的推论可借助于分布来讨论。

第四节 F分布

F分布是连续型随机变量的另一种重要的小样本分布，应用也相当广泛。它可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是否相等。F分布还是方差分析和正交设计的理论基础。

1. F分布数学形式

设（）和（）相互独立，那么随机变量

F（，）＝

服从自由度为( ， )的F分布。其中，分子上的自由度叫做第一自由度，分母上的自由度叫做第二自由度。

2．F分布的性质

(1) 随机变量F和随机变量一样，恒取正值，F分布密度曲线下总面积亦为1。

(2)F分布也是一个连续的非对称分布。

（3)分布具有一定程度的反对称性。

3. 关于F分布的近似

（1）当自由度较大时，F分布可以用正态分布作近似，即用下式由正态分布表可求得它所对应的Fα( ， )之值

lg Fα( ， )＝0．4343Zα

(2) 如果第一自由度或第二自由度的F分布没有列在表中．但邻近的第一自由度或第

二自由度的F分布已列在表中，对于Fα( ， )的值可以用调和插值法得到。

（3）F分布与其他分布及标准正态分布的关系是简单而明了的：①对＝1及＝，F分布成为t 2分布(查未预测方向的t值)；②对＝1及＝∞，F分布成为Z 2分布(查未预测方向的Z值)；③对＝及＝∞，F分布成为／分布。

概率分布表

分布名称

概率与密度函数常用统计分布 - fhqdddddd - 流浪云南

数学期望

方差

图形

贝努里分布

两点分布

常用统计分布 - fhqdddddd - 流浪云南

二项分布

常用统计分布 - fhqdddddd - 流浪云南

泊松分布

常用统计分布 - fhqdddddd - 流浪云南

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几何分布

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正态分布

高斯分布

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均匀分布

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指数分布

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